Клавдий Птолемей (90-168 гг.н.э) родом из Птолемаиды Египетской в своем замечательном труде "Руководство по географии" оставил богатое наследство в описании  современного ему лика Земли. Согласно [1], cразу после появления этот труд Птолемея был забыт, а "открыт вновь" и переведен на латинский в начале XV века Джакомо Анджело. В 1475 году перевод был напечатан в Винченце, а через три года последовало новое издание с приложением карт гравированных  на меди. Первое издание греческого подлинника принадлежит Эразму Роттердамскому (1523 г.). В последующие два века было еще около 50 изданий.
         Местоположение восьми тысяч пунктов на планете описано географическими координатами: широтой и долготой. Для относительно небольшого количества из общего числа пунктов (350-400) широта и долгота были определены с помощью астрономических наблюдений посредством гномона (определенные координаты). Для остальных пунктов координаты получены расчетом. При расчете использовались расстояния от пунктов с астрономическими наблюдениями до пунктов с неизвестными координатами (расчетные координаты).
          Например, Птолемей мог знать координаты Византия (Константинополя, Стамбула), определенные астрономическим путем. Имея ситуационный план Понта (Черного моря), расстояния между пунктами этого плана и координаты Византия, координаты всех пунктов Понта  он мог получить расчетом, используя в расчете астрономически же определенный диаметр Земли. Птолемей использовал астрономически определенный Посейдонием размер большого круга (длину экватора земного шара).
           Мы вправе подозревать, что в географические координаты пунктов Земли по Птолемею вкрались, как систематические, так и случайные ошибки при расчете. Возможны также ошибки переводчиков, переписчиков и наборщиков "Руководства" Птолемея. До сих пор ведутся споры относительно датировки самого первоисточника и времени жизни автора с разницей в определении до семисот и более лет. Учет, по возможности, полного набора ошибок и их влияния на результаты настоятельно необходим. 
           Цель поставлена простая. Нужно отработать метод преобразования координат Птолемея в современные географические координаты: широту и долготу. Что же нужно учесть при решении этой задачи?

1. Сейчас мы более точно знаем размер  земного шара (размер большого круга по Птолемею). Для определенности будем считать, что это размер экватора.
2. Вследствие прецессии (в большей мере) и нутации, возникающих из-за гравитационного влияния на Землю Солнца, Луны и планет, изменилось положение Северного полюса Земли относительно направления Земля-Солнце .
3. Приплюснутость земного шара вдоль оси вращения превращает его в более сложную фигуру - геоид, отличающуюся от идеального шара.
4. Повысилась точность определения географических координат с помощью астрономических приборов. Определение расстояний на земной поверхности с помощью аэрокосмической геодезии повысило точность современных карт.
5. Из-за дрейфа плит континентов земной коры тоже возможно изменение местоположения точек поверхности земного шара относительно оси вращения.
6. Возможны и космические влияния, подобные падению больших метеоритов. Тунгусского метеорита, например, в 1911 году.
7. Могут влиять и испытания ядерного оружия, крупные извержения вулканов и землетрясения.
8. Возможно, координаты Птолемея из широтных относительно экватора были пересчитаны в эклиптические относительно плоскости эклиптики, совпадающей с орбитой вращения Земли вокруг Солнца. Как утверждают коллеги с сайта Staff&Co, использование эклиптики было модным в те (какие?) времена.
9. Положение нулевого меридиана стало более конкретным. Сейчас это Гринвичский меридиан. Во времена Птолемея начальным был меридиан, проходящий через острова Блаженных. Это острова западнее Геркулесовых столбов. (Канарские, Мадейра, Азорские?).
10. Возможны ошибки из-за ошибочной привязки древних названий пунктов  к современным пунктам, дублирования этих названий в древности, тоже приводящее к путанице.
    

Поскольку причин много, а степень их влияния различна, вплоть до призрачного, то есть отсутствующего практически, целесообразно постепенно учитывать их влияние, проверяя точность результатов, сопоставляя с точностью поставленной задачи. Может, конечно, получиться и так, что совместный учет причин, приведет к кажущемуся отсутствию их влияния.

Рис.1. Схема к определению ошибки приращения широты вследствие заниженного размера земного шара.
На рисунке 1 OA - радиус земного шара по Птолемею, OA1 - радиус земного шара по справочнику, A1K1 - измеренное расстояние между пунктами, AK - это же расстояние на сфере меньшего радиуса, угол A1OK1 - действительное приращение широты, угол AOK - приращение широты согласно Птолемею, угол K1OK - ошибка в определении приращения широты вследствие заниженного размера земного шара.
Числовую оценку этой ошибки можно определить, исходя из следующих соображений: длину стадия принимаем равной 177.6 м; длина экватора земного шара, согласно измерениям Посейдония 180000*177.6=31968 км. Длина экватора земного шара, согласно справочнику = 6378000*2*PI/1000=40074 км.

Длина дуги AK= (F(K)-F(A))*2*PI*OA/360; 
Длина дуги A1K1= (F(K1)-F(A1))*2*PI*OA1/360, 
где F() - широта пункта. Вследствие равенства дуг AK и A1K1, получаем: (F(K)-F(A))*2*PI*OA/360=(F(K1)-F(A1))*2*PI*OA1/360, или
(F(K1)-F(A1))=(F(K)-F(A))*OA/OA1,  или
F(K1)=F(K)*OR+F(A)*(1-OR), так как F(A)=F(A1), а  OR=OA/OA1 - отношение радиуса земного шара по Птолемею к действительному радиусу.

 Следовательно, если за исходный пункт брать пункт лежащий на экваторе (с нулевой широтой), то действительная широта получается из птолемеевской умножением на отношение радиусов земного шара, уменьшающее эту широту. Если же брать за исходный любой другой пункт, то необходим и учет широты этого пункта.

Рис.2 Схема к определению координат на сфере при перемещении полюса и по широте, и по долготе. N - полюс во времена Птолемея, Q - современное положение полюса.
        Отношение радиуса земного шара по Птолемею к действительному радиусу составляет 31968/40074 =0.7977. Приращение долготы на единицу расстояния вдоль экватора измеряется в той же пропорции, а с увеличением широты пункта должно изменяться и обратно пропорционально отношению косинуса широты по Птолемею и косинуса широты с поправкой из-за большего радиуса земного шара.
            Закономерность перемещения северного полюса вследствие прецессии можно описать так.

 В БСЭ в статье "Прецессия" на рисунке 3 приведена окружность, по которой перемещается полюс с полным оборотом (2*PI) в 26000 лет. Радиус этой окружности немного больше 25 градусов (25.37). Полюс эклиптики находится в центре окружности. Координаты северного полюса относительно полюса эклиптики (с нулевыми координатами) на любую дату могут быть рассчитаны по формулам:

Следовательно северный полюс сместился примерно на 11 градусов (10.968) от Солнца (севернее вдоль меридиана) и на два с половиной градуса (2.500) к востоку.

Эксперимент

Не будем пока учитывать других причин, влияющих на географические координаты пунктов Земли. Посмотрим, что получилось.
Согласно "Географии" Птолемея координаты Пантикапея (Керчи) составляли 48 градусов с.ш. и 64 градуса в.д., а координаты Византия (Константинополя, Стамбула) составляли 43 градуса с.ш. и 56 градусов в.д. Разница по широте с современной картой составила: для Керчи (48гр - 45гр23’)=2гр 37’ А для Стамбула (43гр – 41гр9’)=1гр59’ Эта разница должна складываться из ошибки в определении радиуса Земли и перемещения полюса вдоль меридиана от времени Птолемея до нашего времени.
Предположим, что широты Пантикапея и Византия вычислены по их удаленности от экватора. При соотношении радиусов OR=0.7977 ошибка в широте по причине неправильного радиуса составила 9гр 43'   для Пантикапея (Керчи) и 8гр 42’для Византия (Стамбула). Следовательно, перемещение полюса за счет прецессии должно быть
48гр - 9гр43’- 45гр23’= - 7гр06’ (для Керчи) и
43гр – 8гр42’ –41гр9’= - 6гр 51’ (для Стамбула)
Т.е . полюс со времен Птолемея от направления Земля-Солнце в плоскости эклиптики переместился приблизительно на семь градусов.
Как видим, разница в широте перемещения полюса  достигает почти полтора раза (семь и одиннадцать градусов).

Рис.4. Направление к Солнцу - от центра Земли в плоскость чертежа. Тонкая белая линия - перпендикуляр к прямой Земля-Солнце из центра Земли. Стрелкой обозначено направление перемещения полюса с ходом времени. Числами помечены положения полюса до (с минусом) и после (с плюсом) РХ.
Любопытны следующие факты добытые на основе теории палеомагнетизма (БСЭ). Оказывается, магнитная ось обычно совпадала с осью вращения Земли. А по данным намагниченности пород Европы и Северной Азии Северный полюс переместился из района Северо-Восточной Азии до современного положения в последние 285-230 млн. лет. Это, наверное самые глобальные перемещения полюса. Следующими будут описываемые перемещения из-за прецессии, а еще более малые - из-за нутации.

Какие можно сделать промежуточные выводы?

       Следует уточнить каким стадием пользовался Птолемей, поскольку разная величина стадия дает ошибку до трех процентов.
        Можно уточнить координаты перемещения полюса из-за  прецессии, можно учесть нутацию и прочие причины. И если погрешность в расчетах не обнаружит себя, можно будет предположить, что время создания "Руководства" не второй век нашей эры, а существенно позже.
        Сейчас на пути метода преобразования координат Птолемея в современные координаты стоит это препятствие. Как только исчезнут сомнения в отношении правильности координат прежнего положения полюса Q, пересчет координат можно будет поручить компьютеру, заставляя его решать сферические треугольники.

Список использованной литературы:

1. Античная география. М., 1953
2. Географический атлас мира. Рига, "Яня Сета"М., "Росмэн", 1998
3. Большая советская энциклопедия. М., "Советская энциклопедия", 1975